而量子力學本身也是建立在幾個非常重要的基石上。其中之一就是哈密頓量的厄米性（也作厄密性）。宏觀尺度上的能量在量子世界中對應的是系統(tǒng)的哈密頓量，而能量守恒定律在量子力學中的一個表述就是哈密頓量的厄米性。一個教科書中常見的，與厄米性相關的例子是核外電子的輻射問題。如果用經(jīng)典力學來描述，電子繞原子核的周期性運動必然會帶來電磁輻射，其結果就是電子逐漸損失其能量并向原子核靠攏，最后兩者碰撞造成原子不穩(wěn)定。但如果用量子力學來描述，系統(tǒng)哈密頓量的厄米性則保證了核外電子分布可以形成穩(wěn)態(tài)，而最內(nèi)層的電子在沒有外界激發(fā)的情況下只有極小的可能性會量子隧穿到外界。因此在量子世界上構建的宏觀世界也是極為穩(wěn)定的。

 

正是因為這樣一些非常基本的原因，大多數(shù)的物理工作者對所謂的非厄米物理都持有懷疑態(tài)度。筆者在國外某著名高校參加學術活動的時候曾和一位較年長的同行提到非厄米物理，結果對方直接說道：“It must be a WRONG theory!” 。但是這很明顯是個誤區(qū)。為什么呢？因為微觀世界實在是太復雜了，就在一個空的可樂瓶里就能容納超過10 23 個分子。各種理論多多少少都會用到一些近似，而一大類非厄米理論及系統(tǒng)就是一個常用近似的結果。

 

這個近似就是把整個物理系統(tǒng)分成兩個相對獨立的部分，而且假定它們之間能量交換的速率是一個確定的常數(shù)。在光學甚至電路理論中，我們對這種處理習以為常。光學微腔(Special Issue on Optical Microcavities in Photonics Research )或是振蕩器都有自己的品質(zhì)因數(shù)，其描述的正是它們本身（我們稱之為“系統(tǒng)”）和外界之間能量傳輸?shù)乃俾?。因為在大多?shù)情況下外界對系統(tǒng)的影響都相對簡單，所以我們在進行理論描述的時候只需要考慮系統(tǒng)本身。這樣的話系統(tǒng)中的能量顯然是不守恒的，因而描述它的理論也必然是非厄米的。從這個角度來說，人們對非厄米系統(tǒng)的研究可以溯源到十九世紀中葉甚至更早。

 

然而今天我們要著重提到的非厄米理論來源于一個不同的，甚至可以說是瘋狂的假設。1997年圣路易斯華盛頓大學物理系的Carl Bender教授提出了一個以宇稱-時間對稱（PT-symmetry）為基礎的非常規(guī)量子理論。其核心假設是如果我們只要求能量守恒，那么哈密頓量的厄米性并不是唯一的選擇。具體的來說，如果哈密頓量和任意一個反線性算符對易，那么系統(tǒng)的能量就可以是守恒的。這里宇稱算符和時間反演算符共同作用的結果就就是一個例子，前提是宇稱-時間對稱性沒有自發(fā)破缺。

 

讀者們對宇稱可能已有所了解。李政道先生和楊振寧先生正是因為提出了弱相互作用中的宇稱破缺而在1957年獲得了諾貝爾物理學獎。通常我們把鏡面對稱稱之為宇稱，雖然在粒子物理里我們需要將三個坐標分量同時反轉(zhuǎn)。而自發(fā)破缺也很好理解，它代表了系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)波函數(shù)并沒有哈密頓量本身的對稱性。舉個不太恰當?shù)睦樱喝绻麅善プ厣鸟R生下了一個斑馬幼崽，那么色彩均勻分布的這個對稱性就自發(fā)破缺了。

 

 

圖1：一些具有宇稱-時間對稱性的光子學系統(tǒng) [詳見L. Feng, R. El-Ganainy, and L. Ge, Nature Photonics, 11,752 (2017) ]。

 

在宇稱-時間對稱的量子理論發(fā)布后，物理學界普遍認為其只是一個有趣的觀點，但它并不能對傳統(tǒng)量子理論提出挑戰(zhàn)。即便如此，這個理論中有一個非常有趣的現(xiàn)象仍然引起了大家的關注。簡單的來講，厄米系統(tǒng)中的簡并態(tài)只是代表它們能量的簡并，而非厄米系統(tǒng)中的簡并態(tài)則還可以同時擁有相同的波函數(shù)。這樣的簡并態(tài)發(fā)生的點被稱為異點（exceptional point）。通常一個異點需要通過調(diào)節(jié)兩個或者更多的參數(shù)才能實現(xiàn)，而在宇稱-時間對稱的系統(tǒng)里我們只需要連續(xù)改變一個參數(shù)就可以達到這個目的。更有意思的是，宇稱-時間對稱性的自發(fā)破缺正好對應了這個異點 [目前唯一的例外可見筆者發(fā)表的論文[ Phys. Rev. A , 94, 013837 (2016) ]，而且能量在這個異點之后也變成了成對出現(xiàn)的復數(shù)，分別對應了能量增長和衰減的態(tài)。

 

為了觀察這個現(xiàn)象，中佛羅里達大學大學的Demetrious Christodoulides教授在2007年提出了用光學系統(tǒng)來構建一個宇稱-時間對稱的系統(tǒng)。之前提到的很多光學系統(tǒng)本來就可以被認為是非厄米的，而這個提議的妙處在于兩點：其一是利用了光學中的傍軸方程與量子力學中的薛定諤方程方程同樣的數(shù)學形式；其二是用配對的光學增益和損耗器件來滿足宇稱-時間對稱的要求。在這個提議的基礎上，很多光子學實驗（見圖1）都成功驗證了Bender教授最初的預測，而Bender教授本人也和實驗的合作者一道利用兩個耦合的協(xié)振子在經(jīng)典力學中實現(xiàn)了一個宇稱-時間對稱的系統(tǒng)。

 

圖2：具有宇稱-時間對稱性的光纖環(huán)形激光和扇形激光 （圖片來源：Photonics Research Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ）

 

鑒于各國都加大了對宇稱-時間對稱系統(tǒng)研究的力度，光子學領域重要期刊Photonics Research適時推出了Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ，由美國北卡羅萊納大學的Greg Gbur教授和希臘克里特大學的Konstantinos Makris教授負責組稿。其中收錄的文章包括了許多新的研究方向，例如克里特大學和中佛羅里達大學主持的課題討論了光學物質(zhì)的色散對宇稱-時間對稱性破缺的影響；澳大利亞國立大學和悉尼大學發(fā)表的文章研究了非線性波導中的宇稱-時間對稱性對成對產(chǎn)生的量子糾纏態(tài)的影響；香港科技大學孫賢開教授的團隊設計了具有徑向宇稱-時間對稱性的光學微腔激光器。筆者也應邀發(fā)表了一篇關于非厄米扁平能帶（flatband）的文章，其中用到了一種新的非厄米對稱性，即電子-空穴（particle-hole）對稱性。有意思的是由于非厄米性，一個玻色子（光子）系統(tǒng)居然實現(xiàn)了一個費米子（電子及空穴）系統(tǒng)的對稱性。同時電子-空穴對稱性也保證了和馬約拉納零能模（Mojarana zero mode）類似的非厄米零能模的存在，為在非厄米系統(tǒng)中研究拓撲邊界態(tài)提供了保障。

 

國內(nèi)的不少科研機構也在非厄米系統(tǒng)框架下做出了很多杰出的成績，其中包括筆者比較熟悉的南京大學的肖敏教授、姜校順教授和劉明輝教授，北京大學的肖云峰教授和馬仁敏教授，上海交通大學的萬文杰教授，以及哈爾濱工業(yè)大學（深圳）的宋清海教授和肖淑敏教授。我們希望有更多科技工作者加入到對非厄米系統(tǒng)的研究中來，把一個天方夜譚般的領域發(fā)展成一個優(yōu)勢學科。