而量子力學(xué)本身也是建立在幾個非常重要的基石上。其中之一就是哈密頓量的厄米性（也作厄密性）。宏觀尺度上的能量在量子世界中對應(yīng)的是系統(tǒng)的哈密頓量，而能量守恒定律在量子力學(xué)中的一個表述就是哈密頓量的厄米性。一個教科書中常見的，與厄米性相關(guān)的例子是核外電子的輻射問題。如果用經(jīng)典力學(xué)來描述，電子繞原子核的周期性運(yùn)動必然會帶來電磁輻射，其結(jié)果就是電子逐漸損失其能量并向原子核靠攏，最后兩者碰撞造成原子不穩(wěn)定。但如果用量子力學(xué)來描述，系統(tǒng)哈密頓量的厄米性則保證了核外電子分布可以形成穩(wěn)態(tài)，而最內(nèi)層的電子在沒有外界激發(fā)的情況下只有極小的可能性會量子隧穿到外界。因此在量子世界上構(gòu)建的宏觀世界也是極為穩(wěn)定的。

 

正是因?yàn)檫@樣一些非常基本的原因，大多數(shù)的物理工作者對所謂的非厄米物理都持有懷疑態(tài)度。筆者在國外某著名高校參加學(xué)術(shù)活動的時候曾和一位較年長的同行提到非厄米物理，結(jié)果對方直接說道：“It must be a WRONG theory!” 。但是這很明顯是個誤區(qū)。為什么呢？因?yàn)槲⒂^世界實(shí)在是太復(fù)雜了，就在一個空的可樂瓶里就能容納超過10 23 個分子。各種理論多多少少都會用到一些近似，而一大類非厄米理論及系統(tǒng)就是一個常用近似的結(jié)果。

 

這個近似就是把整個物理系統(tǒng)分成兩個相對獨(dú)立的部分，而且假定它們之間能量交換的速率是一個確定的常數(shù)。在光學(xué)甚至電路理論中，我們對這種處理習(xí)以為常。光學(xué)微腔(Special Issue on Optical Microcavities in Photonics Research )或是振蕩器都有自己的品質(zhì)因數(shù)，其描述的正是它們本身（我們稱之為“系統(tǒng)”）和外界之間能量傳輸?shù)乃俾?。因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下外界對系統(tǒng)的影響都相對簡單，所以我們在進(jìn)行理論描述的時候只需要考慮系統(tǒng)本身。這樣的話系統(tǒng)中的能量顯然是不守恒的，因而描述它的理論也必然是非厄米的。從這個角度來說，人們對非厄米系統(tǒng)的研究可以溯源到十九世紀(jì)中葉甚至更早。

 

然而今天我們要著重提到的非厄米理論來源于一個不同的，甚至可以說是瘋狂的假設(shè)。1997年圣路易斯華盛頓大學(xué)物理系的Carl Bender教授提出了一個以宇稱-時間對稱（PT-symmetry）為基礎(chǔ)的非常規(guī)量子理論。其核心假設(shè)是如果我們只要求能量守恒，那么哈密頓量的厄米性并不是唯一的選擇。具體的來說，如果哈密頓量和任意一個反線性算符對易，那么系統(tǒng)的能量就可以是守恒的。這里宇稱算符和時間反演算符共同作用的結(jié)果就就是一個例子，前提是宇稱-時間對稱性沒有自發(fā)破缺。

 

讀者們對宇稱可能已有所了解。李政道先生和楊振寧先生正是因?yàn)樘岢隽巳跸嗷プ饔弥械挠罘Q破缺而在1957年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎。通常我們把鏡面對稱稱之為宇稱，雖然在粒子物理里我們需要將三個坐標(biāo)分量同時反轉(zhuǎn)。而自發(fā)破缺也很好理解，它代表了系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)波函數(shù)并沒有哈密頓量本身的對稱性。舉個不太恰當(dāng)?shù)睦樱喝绻麅善プ厣鸟R生下了一個斑馬幼崽，那么色彩均勻分布的這個對稱性就自發(fā)破缺了。

 

 

圖1：一些具有宇稱-時間對稱性的光子學(xué)系統(tǒng) [詳見L. Feng, R. El-Ganainy, and L. Ge, Nature Photonics, 11,752 (2017) ]。

 

在宇稱-時間對稱的量子理論發(fā)布后，物理學(xué)界普遍認(rèn)為其只是一個有趣的觀點(diǎn)，但它并不能對傳統(tǒng)量子理論提出挑戰(zhàn)。即便如此，這個理論中有一個非常有趣的現(xiàn)象仍然引起了大家的關(guān)注。簡單的來講，厄米系統(tǒng)中的簡并態(tài)只是代表它們能量的簡并，而非厄米系統(tǒng)中的簡并態(tài)則還可以同時擁有相同的波函數(shù)。這樣的簡并態(tài)發(fā)生的點(diǎn)被稱為異點(diǎn)（exceptional point）。通常一個異點(diǎn)需要通過調(diào)節(jié)兩個或者更多的參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)，而在宇稱-時間對稱的系統(tǒng)里我們只需要連續(xù)改變一個參數(shù)就可以達(dá)到這個目的。更有意思的是，宇稱-時間對稱性的自發(fā)破缺正好對應(yīng)了這個異點(diǎn) [目前唯一的例外可見筆者發(fā)表的論文[ Phys. Rev. A , 94, 013837 (2016) ]，而且能量在這個異點(diǎn)之后也變成了成對出現(xiàn)的復(fù)數(shù)，分別對應(yīng)了能量增長和衰減的態(tài)。

 

為了觀察這個現(xiàn)象，中佛羅里達(dá)大學(xué)大學(xué)的Demetrious Christodoulides教授在2007年提出了用光學(xué)系統(tǒng)來構(gòu)建一個宇稱-時間對稱的系統(tǒng)。之前提到的很多光學(xué)系統(tǒng)本來就可以被認(rèn)為是非厄米的，而這個提議的妙處在于兩點(diǎn)：其一是利用了光學(xué)中的傍軸方程與量子力學(xué)中的薛定諤方程方程同樣的數(shù)學(xué)形式；其二是用配對的光學(xué)增益和損耗器件來滿足宇稱-時間對稱的要求。在這個提議的基礎(chǔ)上，很多光子學(xué)實(shí)驗(yàn)（見圖1）都成功驗(yàn)證了Bender教授最初的預(yù)測，而Bender教授本人也和實(shí)驗(yàn)的合作者一道利用兩個耦合的協(xié)振子在經(jīng)典力學(xué)中實(shí)現(xiàn)了一個宇稱-時間對稱的系統(tǒng)。

 

圖2：具有宇稱-時間對稱性的光纖環(huán)形激光和扇形激光 （圖片來源：Photonics Research Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ）

 

鑒于各國都加大了對宇稱-時間對稱系統(tǒng)研究的力度，光子學(xué)領(lǐng)域重要期刊Photonics Research適時推出了Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ，由美國北卡羅萊納大學(xué)的Greg Gbur教授和希臘克里特大學(xué)的Konstantinos Makris教授負(fù)責(zé)組稿。其中收錄的文章包括了許多新的研究方向，例如克里特大學(xué)和中佛羅里達(dá)大學(xué)主持的課題討論了光學(xué)物質(zhì)的色散對宇稱-時間對稱性破缺的影響；澳大利亞國立大學(xué)和悉尼大學(xué)發(fā)表的文章研究了非線性波導(dǎo)中的宇稱-時間對稱性對成對產(chǎn)生的量子糾纏態(tài)的影響；香港科技大學(xué)孫賢開教授的團(tuán)隊設(shè)計了具有徑向宇稱-時間對稱性的光學(xué)微腔激光器。筆者也應(yīng)邀發(fā)表了一篇關(guān)于非厄米扁平能帶（flatband）的文章，其中用到了一種新的非厄米對稱性，即電子-空穴（particle-hole）對稱性。有意思的是由于非厄米性，一個玻色子（光子）系統(tǒng)居然實(shí)現(xiàn)了一個費(fèi)米子（電子及空穴）系統(tǒng)的對稱性。同時電子-空穴對稱性也保證了和馬約拉納零能模（Mojarana zero mode）類似的非厄米零能模的存在，為在非厄米系統(tǒng)中研究拓?fù)溥吔鐟B(tài)提供了保障。

 

國內(nèi)的不少科研機(jī)構(gòu)也在非厄米系統(tǒng)框架下做出了很多杰出的成績，其中包括筆者比較熟悉的南京大學(xué)的肖敏教授、姜校順教授和劉明輝教授，北京大學(xué)的肖云峰教授和馬仁敏教授，上海交通大學(xué)的萬文杰教授，以及哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）的宋清海教授和肖淑敏教授。我們希望有更多科技工作者加入到對非厄米系統(tǒng)的研究中來，把一個天方夜譚般的領(lǐng)域發(fā)展成一個優(yōu)勢學(xué)科。